Sčítání: rakety se vzdalují stejným směrem. Rozdíl: jaká je relativní rychlost dvou objektů.
Vybrat ze známých rychlostí
Vybrat ze známých rychlostí
Co taková rychlost znamená?
u = (v + w) / (1 + v·w/c²)
Jak funguje relativistické skládání rychlostí?
V klasické mechanice (Galileově) platí jednoduché sčítání: pokud raketa letí rychlostí v a vystřelí projektil rychlostí w dopředu, pozorovatel naměří rychlost v + w. Toto však přestává platit, jakmile se rychlosti blíží rychlosti světla c.
Speciální teorie relativity nahrazuje klasický vzorec touto formulí:
u = (v + w) / (1 + v·w/c²)
Důsledek je zásadní: i když sečtete dvě rychlosti blízké c, výsledek vždy zůstane pod c. Rychlost světla je absolutní strop, který hmotný objekt nemůže dosáhnout. Pro malé rychlosti (auta, letadla) je oprava zanedbatelná a klasický vzorec funguje dál.
Jak kalkulačku použít
- Zvolte režim. Sčítání spočítá výslednou rychlost dvou pohybů ve stejném směru. Rozdíl ukáže relativní rychlost mezi dvěma objekty.
- Zadejte první rychlost a vyberte její jednotku. Kalkulačka rozumí km/h, m/s, mph, ft/s, uzlům, Machovu číslu i násobkům rychlosti světla.
- Stejným způsobem zadejte druhou rychlost. Pokud nevíte konkrétní číslo, klikněte na tlačítko Vybrat ze známých rychlostí a vyberte z presetů od chůze po 99 % rychlosti světla.
- Výsledek se zobrazí okamžitě. Vidíte rychlost jako násobek c, v m/s i v km/h, dále Lorentzův faktor γ, procento rychlosti světla a srovnání s klasickým (Galileovským) součtem.
- Pod výsledky najdete vizualizaci na škále od nuly k rychlosti světla a srovnání s běžnými rychlostmi (cyklista, ISS, Voyager 1, Země kolem Slunce a další).
Co je relativistické skládání rychlostí
Relativistické skládání rychlostí řeší jednoduchou otázku. Pokud raketa letí rychlostí v a vystřelí projektil rychlostí w stejným směrem, jakou rychlost u naměří pozorovatel zvenku? V běžných podmínkách stačí jednoduše sečíst. U rychlostí blízkých rychlosti světla ale klasická aritmetika přestává platit.
Einsteinův vzorec, který tento problém řeší, vyplývá ze speciální teorie relativity z roku 1905. Vychází z Lorentzovy transformace a z druhého postulátu, podle kterého má rychlost světla ve vakuu stejnou hodnotu ve všech inerciálních soustavách. Tato kalkulačka spočítá výsledek pro libovolné dvě rychlosti pod hranicí c.
Einsteinův vzorec a jak ho použít
Vzorec pro relativistické skládání rychlostí má tvar u = (v + w) / (1 + v·w/c²). Konstanta c je rychlost světla ve vakuu, tedy 299 792 458 m/s. Pro nízké rychlosti je jmenovatel prakticky roven jedné a vzorec přechází na klasický Galileův součet v + w.
Konkrétní příklad. Dvě rakety letí proti sobě, každá rychlostí 0,5 c. Klasicky by jejich vzájemná rychlost vyšla c, tedy přesně rychlost světla. Einsteinův vzorec ale dává 0,8 c. Při kombinaci 0,99 c a 0,99 c dostanete 0,99995 c. I dvě rychlosti těsně pod c se nikdy nesečtou nad c. Rychlost světla je absolutní strop, který hmotný objekt nemůže dosáhnout.
Kdy klasické sčítání rychlostí selhává
Pro běžné rychlosti je odchylka mezi klasickým a relativistickým součtem zanedbatelná. Když auto jede 100 km/h a vystřelíte z něj projektil rychlostí dalších 100 km/h, klasická aritmetika i Einsteinův vzorec dají prakticky stejný výsledek. Rozdíl se objeví až řádově od jednoho procenta rychlosti světla, tedy asi 3 000 km/s.
Nejvíce se relativistické skládání rychlostí projeví v částicové fyzice. V urychlovačích jako CERN se elektrony a protony pohybují rychlostmi nad 99,99 % c. Bez Einsteinova vzorce by žádné výpočty srážek ani předpovědi rozpadů částic nefungovaly. Stejně tak GPS satelity musí korigovat čas o relativistické efekty, jinak by se polohy během několika hodin rozjely o stovky metrů.
Lorentzova transformace a Lorentzův faktor γ
Vzorec pro skládání rychlostí není izolovaný. Patří do širšího rámce Lorentzových transformací, které popisují, jak se mezi inerciálními soustavami transformují souřadnice, časy i rychlosti. Klíčovou roli v nich hraje Lorentzův faktor γ = 1 / √(1 − v²/c²), který kalkulačka spočítá pro výslednou rychlost.
Faktor γ ukazuje, jak silně se relativistické efekty projevují. Při 50 % rychlosti světla je γ ≈ 1,155. Při 90 % c už γ ≈ 2,294. Při 99 % c roste na 7,089 a blíží se nekonečnu, jak se rychlost přibližuje k c. Stejný faktor se uplatňuje při dilataci času i Lorentzově kontrakci délek.
Experimentální potvrzení
Relativistické skládání rychlostí není teoretická hříčka. Potvrzuje ho každý experiment s rychle se pohybujícími částicemi. Klasický experiment z roku 1964 v CERNu sledoval neutrální piony pohybující se rychlostí 0,99975 c. Když se rozpadly na gamma fotony, naměřená rychlost těchto fotonů byla c, naprosto nezávisle na rychlosti zdroje. Klasický součet by dal hodnotu téměř dvakrát vyšší, což realita vylučuje.
Historicky první nepřímé potvrzení přišlo o dvě století dříve. Anglický astronom James Bradley v roce 1727 objevil aberaci světla, tedy jev, kdy se zdánlivá poloha hvězd na obloze posouvá podle rychlosti Země na oběžné dráze. Aberace přesně odpovídá relativistickému skládání rychlosti Země s rychlostí dopadajícího světla.
Časté otázky
Proč nemůže být výsledná rychlost větší než c?
Vzorec u = (v + w) / (1 + v·w/c²) má tu vlastnost, že pokud jsou v i w pod c, výsledek u je vždy také pod c. Matematicky to plyne z toho, že jmenovatel roste dostatečně rychle, aby srazil součet v čitateli. Fyzikálně to vyjadřuje princip, že rychlost světla je horní mez pro pohyb informace i hmotných objektů.
Funguje vzorec i pro foton, který letí přesně rychlostí c?
Ano, ale s pozoruhodným výsledkem. Pokud jedna z rychlostí je rovná c, vyjde výsledek také c, nezávisle na druhé rychlosti. To je matematické vyjádření druhého postulátu speciální teorie relativity. Hmotné objekty se ale k c nikdy nedostanou, proto kalkulačka vstup roven nebo větší než c zamítá.
Kdy ještě stačí klasický vzorec v + w?
V naprosté většině každodenních situací. Auta, letadla, družice, dokonce i meziplanetární sondy se pohybují tak pomalu vůči rychlosti světla, že odchylka je neměřitelná. Klasický součet začíná znatelně selhávat zhruba od jednoho procenta c, tedy zhruba od rychlosti 3 000 km/s. To je rychlost typická pro částicové urychlovače a kosmické záření, ne pro praktický inženýrský život.
Jaký je vztah ke Galileově skládání rychlostí?
Galileovo skládání v + w je limitní případ Einsteinova vzorce pro malé rychlosti. Když je součin v·w/c² zanedbatelný, jmenovatel je prakticky jedna a oba vzorce dají stejný výsledek. Speciální teorie relativity tedy klasickou mechaniku neruší, jen ji rozšiřuje na oblast vysokých rychlostí, kde klasický popis přestává platit.
K čemu je dobré znát Lorentzův faktor γ?
Lorentzův faktor γ propojuje výslednou rychlost s ostatními relativistickými jevy. Říká, kolikrát se pro pozorovatele zpomalí čas pohybujícího se objektu, kolikrát se zkrátí jeho délka ve směru pohybu a kolikrát naroste jeho relativistická hmotnost. Pokud výsledek dává γ blízko jedné, klasická fyzika stačí. Pokud γ významně přesahuje jedničku, situace je hluboko v relativistickém režimu.