Objem a povrch jehlanu

---

Jak kalkulačku použít

1. Zadejte hranu čtvercové podstavy jehlanu.
2. Doplňte výšku, tedy kolmou vzdálenost vrcholu od středu podstavy.
3. Vyberte jednotku a počet desetinných míst.
4. V rozpisu najdete apotému boční stěny, obsah podstavy i obsah pláště.
5. Tlačítkem Kopírovat přenesete všechny hodnoty do schránky.

---

Jak vypočítat objem jehlanu

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je V = (1/3) · a² · v, kde a je hrana podstavy a v výška. Obecně jde o třetinu obsahu podstavy krát výšku, takže vzorec funguje i pro jinou podstavu.

Na jehlanu s podstavnou hranou 6 cm a výškou 8 cm. Obsah podstavy je 36 cm², vynásobeno výškou dává 288 a po vydělení třemi vyjde objem 96 cm³.

Do objemu patří výška jehlanu, ne výška boční stěny. Ty dvě hodnoty se u jehlanu liší a jejich záměna je nejčastější důvod, proč výsledek nesouhlasí.

Povrch jehlanu: podstava a čtyři stěny

Povrch tvoří čtvercová podstava a plášť ze čtyř shodných trojúhelníků: S = a² + 2 · a · v_a, kde v_a je apotéma, tedy výška jedné boční stěny.

U jehlanu s hranou 6 cm a výškou 8 cm je apotéma 8,54 cm. Podstava má 36 cm², plášť 2 · 6 · 8,54 = 102,53 cm² a celý povrch 138,53 cm².

Každá boční stěna má obsah 6 · 8,54 / 2 = 25,63 cm² a čtyři takové dávají zmíněných 102,53 cm². Když počítáte krytinu na jehlanovou střechu, potřebujete jen plášť. Kalkulačka ho vypisuje odděleně od podstavy.

Co je apotéma a jak ji spočítat

Apotéma je výška boční stěny vedená z vrcholu jehlanu na střed podstavné hrany. Spolu s výškou jehlanu a polovinou hrany podstavy tvoří pravoúhlý trojúhelník, takže v_a = √(v² + (a/2)²).

Pro hranu 6 cm a výšku 8 cm vyjde √(64 + 9) = √73, tedy 8,54 cm. Apotéma je vždycky delší než výška jehlanu, protože je přeponou toho trojúhelníku.

Nezaměňujte ji s boční hranou, která vede z vrcholu do vrcholu podstavy a je ještě delší. U našeho jehlanu měří 9,06 cm, protože se počítá jako √(v² + (a · √2 / 2)²). Do povrchu se dosazuje apotéma, ne boční hrana.

Jehlan a hranol se stejnou podstavou

Jehlan má třetinu objemu hranolu, který má stejnou podstavu a stejnou výšku. Hranol s podstavou 6 × 6 cm a výškou 8 cm má objem 288 cm³, jehlan z něj 96 cm³.

Ta třetina se dá použít jako rychlá kontrola. Spočítejte hranol, což zvládnete v hlavě, a vydělte třemi. Stejný vztah platí mezi kuželem a válcem.

V litrech to znamená, že jehlan z příkladu s objemem 96 cm³ pojme necelou desetinu litru.

Časté otázky

Jak vypočítat objem jehlanu?

Obsah podstavy vynásobte výškou a vydělte třemi, tedy V = (1/3) · a² · v. Jehlan s podstavnou hranou 6 cm a výškou 8 cm má objem 96 cm³. Dosazujte výšku jehlanu, ne apotému.

Jak spočítat povrch jehlanu?

Sečtěte obsah podstavy a čtyř bočních trojúhelníků: S = a² + 2 · a · v_a. Apotému získáte jako √(v² + (a/2)²). Pro hranu 6 cm a výšku 8 cm vyjde povrch 138,53 cm².

Co se myslí obsahem jehlanu?

Obsah patří čtvercové podstavě, povrch celému jehlanu se čtyřmi bočními stěnami. Objem je vnitřek. Dotaz na „obsah jehlanu“ se dá číst jako obojí.

Jaký je rozdíl mezi apotémou a boční hranou?

Apotéma vede z vrcholu na střed podstavné hrany a je to výška boční stěny. Boční hrana vede z vrcholu do vrcholu podstavy a je delší. U jehlanu s hranou 6 cm a výškou 8 cm má apotéma 8,54 cm a boční hrana 9,06 cm.

---

Další tělesa: objem a povrch hranolu, objem a povrch kužele nebo objem a povrch krychle. Čtvercovou podstavu spočítá obsah a obvod čtverce.