Všechny rozměry zadávejte ve stejné jednotce.
Rozpis výsledků
| Veličina | Hodnota |
|---|
Vzorce a dosazení
| Vzorec | Dosazení |
|---|
Jak kalkulačku použít
- Zadejte poloměr podstavy. Pokud znáte průměr, vydělte ho dvěma.
- Doplňte výšku kužele, tedy kolmou vzdálenost vrcholu od podstavy.
- Vyberte jednotku a počet desetinných míst.
- V rozpisu najdete délku strany kužele, obsah podstavy i obsah pláště zvlášť.
- Tlačítkem Kopírovat přenesete všechny hodnoty do schránky.
Jak vypočítat objem kužele
Objem kužele je V = (1/3) · π · r² · v, tedy třetina obsahu podstavy krát výška. Ta třetina není náhoda, kužel má přesně třetinový objem válce se stejnou podstavou a stejnou výškou.
Na kuželu s poloměrem 4 cm a výškou 9 cm. Obsah podstavy je π · 16 = 50,27 cm². Vynásobeno výškou dává 452,39 a po vydělení třemi vyjde objem 150,80 cm³.
Do vzorce pro objem patří výška, ne strana. Tohle je nejčastější záměna, protože strana je delší a bývá to ten rozměr, který se dá u reálného kužele změřit snadněji.
Povrch kužele: podstava a plášť
Povrch se skládá z kruhové podstavy a pláště: S = π · r² + π · r · s, kde s je strana kužele. Zkráceně jde zapsat jako S = π · r · (r + s).
Kužel s poloměrem 4 cm a výškou 9 cm má stranu 9,85 cm. Podstava je 50,27 cm², plášť π · 4 · 9,85 = 123,76 cm² a celý povrch tedy 174,03 cm².
Plášť rozvinutý do plochy je kruhová výseč s radiusem rovným straně kužele. Proto se v jeho vzorci objevuje s a ne výška. U kornoutu nebo kloboukové střechy počítáte právě jen plášť, podstava tam žádná není.
Výška versus strana kužele
Výška v jde z vrcholu svisle dolů do středu podstavy. Strana s vede z vrcholu k okraji podstavy po povrchu. Spolu s poloměrem tvoří pravoúhlý trojúhelník, takže platí s = √(r² + v²).
Pro poloměr 4 cm a výšku 9 cm vyjde strana √(16 + 81) = √97, tedy 9,85 cm. Když naopak znáte stranu a poloměr, výšku dostanete jako v = √(s² – r²).
Pravidlo je jednoduché: objem se počítá z výšky, plášť ze strany. Kdo dosadí stranu do objemu, dostane výsledek o desítky procent vyšší. Kalkulačka stranu dopočítá sama, takže si ji můžete zkontrolovat.
Kolik se do kužele vejde litrů
Kužel z příkladu s objemem 150,80 cm³ zadrží 0,15 litru, tedy asi jako menší sklenice.
U kupy sypkého materiálu je kužel dobrý model. Kupa písku o poloměru 1 m a výšce 0,6 m má objem přibližně 0,63 m³, což je 628 litrů.
Časté otázky
Jak vypočítat objem kužele?
Spočítejte obsah kruhové podstavy π · r², vynásobte ho výškou a vydělte třemi. Kužel s poloměrem 4 cm a výškou 9 cm má objem 150,80 cm³. Do vzorce dosazujte výšku, ne stranu.
Jak se počítá strana kužele?
Z Pythagorovy věty jako s = √(r² + v²). Poloměr, výška a strana tvoří pravoúhlý trojúhelník. Pro r = 4 cm a v = 9 cm vyjde strana 9,85 cm.
Míří dotaz „obsah kužele“ na povrch, nebo na objem?
Obsah se počítá u kruhové podstavy, povrch u celého kužele včetně pláště. Objem říká, co se do něj vejde. „Obsah kužele“ tedy obvykle znamená povrch.
Proč má kužel třetinu objemu válce?
Protože se průřez směrem k vrcholu zmenšuje s druhou mocninou vzdálenosti. Kužel s poloměrem 4 cm a výškou 9 cm má 150,80 cm³, zatímco válec se stejnými rozměry 452,39 cm³. Stejný vztah platí mezi jehlanem a hranolem.
Další tělesa: objem a povrch válce, objem a povrch jehlanu nebo objem a povrch koule. Kruhovou podstavu spočítá obsah a obvod kruhu.